標題:
微積分算誤差!!英文題目(簡單英文)
發問:
The side of a square is measured to be 10ft, with a possible error of +,- 0.1ft.A.Use differentials to estimate the error in the calculated area.B. Estimate the percentage errors in side and the area.The hypotenuse of a right triangle is known to be 10 in. exactly, and one of the acute angles is measured to be... 顯示更多 The side of a square is measured to be 10ft, with a possible error of +,- 0.1ft. A.Use differentials to estimate the error in the calculated area. B. Estimate the percentage errors in side and the area. The hypotenuse of a right triangle is known to be 10 in. exactly, and one of the acute angles is measured to be 30度, with a possible error of 正負0.5度 A.Use differentials to estimate the errors in the sides opposite and adjacent to the measured angle. B.Estimate the percentage errors in the sides.
若是利用一次微分近似f(x＋△x)＝ f(x) ＋ f '(x)△x求解 (一)解 (A) 測量正方形面積，邊長 x=>令 f(x)＝x2=>f '(x)＝ 2x，△x取 ±0.1 則f(10.1) ＝ f(10)＋ f '(10) × 0.1＝ 100＋2＝102 ( ft2 ) f(9.9) ＝ f(10)－ f '(10) × 0.1 ＝ 98 ( ft2 ) 面積誤差為± 2 ( ft2 ) (B) 百分比誤差＝實驗值與理論值間差距的絕對值，再除以理論值 則實驗邊長的百分比誤差為：｜± 0.1｜／10 ＝ 1％ 實驗面積的百分比誤差為：｜± 2｜／100 ＝ 2％ (二)解 當斜邊與鄰邊角度為 θ，則鄰邊長為 10cosθ，對邊長為 10sinθ 測量的 △θ 取 ± 0.5 cos(30.5° )＝ cos30°＋ (cos30° )' × 0.5 ＝ cos30°－sin30° × 0.5 ＝ (2√3－1)／4 ≒ 0.616 cos(29.5° )＝ cos30°＋(cos30° )' × (－0.5)＝cos30°＋sin30° × 0.5＝ (2√3＋1)／4 ≒ 1.116 sin(30.5° )＝ sin30°＋(sin30° )' × 0.5＝ sin30°＋cos30° × 0.5＝ (2＋√3)／4 ≒ 0.933 sin(29.5° )＝ sin30°＋(sin30° )' × (－0.5)＝ sin30°－cos30° × 0.5＝(2－√3)／4 ≒ 0.067 ∴鄰邊測量值為 10cos(30.5° )及 10cos(29.5° )各為 6.16 (inch) 和 11.16 (inch) 理論值為 10cos30° ≒ 8.66 ，誤差為 ｜±2.5｜／8.66 ≒ 28.87％ 對邊測量值為 10sin(30.5° )及 10sin(29.5° )各為 9.33 (inch) 和 0.67 (inch) 理論值為 10sin30° ＝ 5，誤差為 ｜±4.33｜／5 ＝ 86.6％ ＜另解＞ 利用一次微分近似的誤差還蠻大的，若是用高次近似來逼近的話，這題會算到死，不過若是利用馬克勞林級數求解近似值的話，會比較好算，誤差會很小很多，我在這舉一例即可，因為若全部打完也是很麻煩的 ∵馬克勞林級數sin x＝ x－(x3／3!)＋(x^5／5!)－(x^7／7!)＋ . . . . . . 計算一下誤差是 0.5 × π/180 ≒ 0.0087則計算到誤差小於 1／1000 即可 =>sin30°＝ sinπ/6＝sin (0.523) ＝ 0.523－(0.5233／3!)＋(0.523^5／5!) ∵｜sin0.523－(0.523－(0.5233／3!)｜＜ (0.523^5／5!) ≒ 3.26 × 10^(－4)＜10^(－3) ∴sin0.523≒ 0.523－0.5233／3! ≒ 0.499(相當接近理論值 sin30°＝ 0.5 ) 這樣可計算出實驗值的＜對邊長＞為 10sin0.523＝4.99 (inch) 百分比誤差為 0.01／5 ＝ 0.2％ 同理，可利用馬克勞林級數 cos x ＝ 1－(x2／2!)＋(x^4／4!)－(x^6／6!)＋ . . . . . . 來求出鄰邊的實驗值及其誤差
其他解答:5FAD1C75A5AA61DA
微積分算誤差!!英文題目(簡單英文)
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The side of a square is measured to be 10ft, with a possible error of +,- 0.1ft.A.Use differentials to estimate the error in the calculated area.B. Estimate the percentage errors in side and the area.The hypotenuse of a right triangle is known to be 10 in. exactly, and one of the acute angles is measured to be... 顯示更多 The side of a square is measured to be 10ft, with a possible error of +,- 0.1ft. A.Use differentials to estimate the error in the calculated area. B. Estimate the percentage errors in side and the area. The hypotenuse of a right triangle is known to be 10 in. exactly, and one of the acute angles is measured to be 30度, with a possible error of 正負0.5度 A.Use differentials to estimate the errors in the sides opposite and adjacent to the measured angle. B.Estimate the percentage errors in the sides.
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最佳解答:若是利用一次微分近似f(x＋△x)＝ f(x) ＋ f '(x)△x求解 (一)解 (A) 測量正方形面積，邊長 x=>令 f(x)＝x2=>f '(x)＝ 2x，△x取 ±0.1 則f(10.1) ＝ f(10)＋ f '(10) × 0.1＝ 100＋2＝102 ( ft2 ) f(9.9) ＝ f(10)－ f '(10) × 0.1 ＝ 98 ( ft2 ) 面積誤差為± 2 ( ft2 ) (B) 百分比誤差＝實驗值與理論值間差距的絕對值，再除以理論值 則實驗邊長的百分比誤差為：｜± 0.1｜／10 ＝ 1％ 實驗面積的百分比誤差為：｜± 2｜／100 ＝ 2％ (二)解 當斜邊與鄰邊角度為 θ，則鄰邊長為 10cosθ，對邊長為 10sinθ 測量的 △θ 取 ± 0.5 cos(30.5° )＝ cos30°＋ (cos30° )' × 0.5 ＝ cos30°－sin30° × 0.5 ＝ (2√3－1)／4 ≒ 0.616 cos(29.5° )＝ cos30°＋(cos30° )' × (－0.5)＝cos30°＋sin30° × 0.5＝ (2√3＋1)／4 ≒ 1.116 sin(30.5° )＝ sin30°＋(sin30° )' × 0.5＝ sin30°＋cos30° × 0.5＝ (2＋√3)／4 ≒ 0.933 sin(29.5° )＝ sin30°＋(sin30° )' × (－0.5)＝ sin30°－cos30° × 0.5＝(2－√3)／4 ≒ 0.067 ∴鄰邊測量值為 10cos(30.5° )及 10cos(29.5° )各為 6.16 (inch) 和 11.16 (inch) 理論值為 10cos30° ≒ 8.66 ，誤差為 ｜±2.5｜／8.66 ≒ 28.87％ 對邊測量值為 10sin(30.5° )及 10sin(29.5° )各為 9.33 (inch) 和 0.67 (inch) 理論值為 10sin30° ＝ 5，誤差為 ｜±4.33｜／5 ＝ 86.6％ ＜另解＞ 利用一次微分近似的誤差還蠻大的，若是用高次近似來逼近的話，這題會算到死，不過若是利用馬克勞林級數求解近似值的話，會比較好算，誤差會很小很多，我在這舉一例即可，因為若全部打完也是很麻煩的 ∵馬克勞林級數sin x＝ x－(x3／3!)＋(x^5／5!)－(x^7／7!)＋ . . . . . . 計算一下誤差是 0.5 × π/180 ≒ 0.0087則計算到誤差小於 1／1000 即可 =>sin30°＝ sinπ/6＝sin (0.523) ＝ 0.523－(0.5233／3!)＋(0.523^5／5!) ∵｜sin0.523－(0.523－(0.5233／3!)｜＜ (0.523^5／5!) ≒ 3.26 × 10^(－4)＜10^(－3) ∴sin0.523≒ 0.523－0.5233／3! ≒ 0.499(相當接近理論值 sin30°＝ 0.5 ) 這樣可計算出實驗值的＜對邊長＞為 10sin0.523＝4.99 (inch) 百分比誤差為 0.01／5 ＝ 0.2％ 同理，可利用馬克勞林級數 cos x ＝ 1－(x2／2!)＋(x^4／4!)－(x^6／6!)＋ . . . . . . 來求出鄰邊的實驗值及其誤差
其他解答:5FAD1C75A5AA61DA
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